Inngangur

Hin síbreytilega dagsetning páskanna er eitthvert sérkennilegasta fyrirbærið í tímatali okkar. Á hverju ári flyst til með páskunum fjöldi kirkjulegra merkisdaga s. s. öskudagur, skírdagur, föstudagurinn langi, uppstigningardagur, hvítasunna og trínitatis. Meðan kirkjulegt helgihald skipaði meira rúm í hugum manna en nú, var útreikningur páskanna veigamikið atriði sem margir létu sig skipta, þar á meðal kunnir stjörnufræðingar og stærðfræðingar eins og Clavius, Delambre og Gauss. Fjölmargar greinar voru ritaðar um þetta efni, og nýjar greinar hafa raunar verið að birtast allt fram á þennan dag. Að því er ég best veit hefur þó aldrei verið tekið saman á íslensku neitt það sem kallast geti fullnægjandi greinargerð um páskareikning, hvorki um grundvöll hans né þær mörgu reiknireglur sem fram hafa verið settar á ýmsum tímum. Reiknireglurnar verða ekki gerðar að umtalsefni hér, enda er það viðfangsefni fyrst og fremst stærðfræðilegs eðlis. Hins vegar er ætlun mín að taka til meðferðar grundvöll páskareikningsins og skýra hann eftir bestu getu. Af þeim heimildum sem ég hef haft til hliðsjónar vil ég sérstaklega nefna þessar: Haandbog i Kronologi eftir J. Fr. Schroeter (Osló 1926), Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris (London 1961), Annuaire du Bureau des Longitudes 1968 (París 1967) og Encyclopædia Britannica, greinin "Calendar", sérstaklega í útgáfunni frá 1943. Eins og oft vill verða ber heimildum ekki alls kostar saman, en ég geri mér vonir um að það sem hér fer á eftir megi heita nákvæm túlkun á staðreyndum málsins. Í framsetningu efnisins hef ég sums staðar reynt að fara nýjar leiðir til að létta undir með lesandanum, en frásögnin verður þó tæplega neinn skemmtilestur, til þess er efnið í eðli sínu of flókið.
 

Páskahald í gamla stíl

Páskar kristinna manna eru sem kunnugt er haldnir í minningu um upprisu Krists. Guðspjöllunum ber saman um að Kristur hafi verið krossfestur á föstudegi á páskahátíð Gyðinga (pesakh), en sú hátíð var að fornum sið haldin við fyrstu tunglfyllingu eftir jafndægur á vori. Í upphafi héldu kristnir menn í Gyðingalandi páskahátíð á sama tíma og aðrir Gyðingar, og gat páskadaginn þá borið upp á hvaða vikudag sem var. Utan Gyðingalands litu menn hins vegar meir á það atriði að Kristur hefði risið upp á sunnudegi og vildu því binda páskahátíðina við sunnudag. Þegar kom fram á 3. öld e. Kr. náði síðari skoðunin yfirhöndinni og mótaðist þá sú grundvallarstefna að páskar skyldu haldnir fyrsta sunnudag eftir fullt tungl eftir jafndægur á vori. Þessi stefna var síðar staðfest af kirkjuþinginu í Nikeu árið 325 e. Kr. og kristnum mönnum forboðið að halda páska eftir reglum Gyðinga. Alllöng bið varð þó á því að full samstaða næðist um páskahald innan kristninnar. Ástæðan var einkum sú, að aðferð skorti til að ákvarða vorjafndægur og tunglfyllingu svo, að ekki yrði ágreiningur um niðurstöðurnar. Einnig var deilt um fleiri atriði, eins og t. d. það hvort páska mætti halda á tunglfyllingardaginn sjálfan þegar svo stóð á að sá dagur var sunnudagur. Tillögur að sameiginlegum páskareglum fengu lítinn byr fyrr en á 6. öld, að munkurinn Díónysíus Exiguus, sem búsettur var í Róm, setti fram nýja og þrauthugsaða páskatöflu. Tafla Díónysíusar sýndi dagsetningu páskadags 95 ár fram í tímann. Við gerð töflunnar sló Díónysíus því föstu að vorjafndægur bæri ávallt upp á 21. mars. Var það í samræmi við sjónarmið kirkjunnar í Alexandríu, en sú borg naut mikils álits sem miðstöð stjörnufræðilegrar þekkingar. Sem páskadag valdi Díónysíus síðan fyrsta sunnudag eftir fyrsta tunglfyllingardag frá og með 21. mars. Tunglfyllinguna fann hann eftir sérstökum reglum sem síðar verður vikið að. Eins og um hnútana var búið hjá Díónysíusi gat páskadagur ekki orðið fyrr en 22. mars og ekki síðar en 25. apríl. Voru bæði þessi mörk í samræmi við reglur sem kirkjan i Alexandríu hafði kosið að fylgja. Kerfi sínu til stuðnings skírskotaði Díónysíus til samþykkta kirkjuþingsins í Nikeu tveimur öldum áður. Á seinni tímum hefur þó mjög verið dregið í efa að kirkjuþingið hafi sett eins nákvæmar reglur um páskana og Díónysíus vildi vera láta (sjá Schroeter: Kronologi II, bls. 204 og 217). En allt um það varð páskatafla Díónysíusar sigursæl, og þegar kom fram á 8. öld má segja að allar páskatöflur af öðrum uppruna hafi verið horfnar af sjónarsviðinu. Ríkti þá eining meðal kristinna manna um páskahald í 800 ár, eða fram til þess tíma að Gregoríus páfi 13. gaf út tilskipun sína um breytt tímatal árið 1582.
 

Nýi stíll

Tímatalsbreyting Gregoríusar átti sér nokkurn aðdraganda. Allt frá árinu 8 e. Kr. höfðu menn fylgt reglu Júlíusar Cæsars um lengd almanaksársins, þannig að fjórða hvert ár var undantekningarlaust látið vera hlaupár. En er tímar liðu urðu menn þess áskynja að meðallengd almanaksársins ("júlíanska" ársins - 365,25 dagar) væri ekki í fullu samræmi við lengd árstíðaársins. Þetta lýsti sér meðal annars í því að vorjafndægrin komu stöðugt fyrr í marsmánuði. Um það leyti sem kirkjuþingið var háð í Nikeu höfðu vorjafndægur verið nálægt 21. mars, en á 16. öld var svo komið að vorjafndægrin bar upp á 11. mars eða þar um bil. Þótti þá flestum fráleitt að miða áfram við 21. mars sem vorjafndægradag eins og gert var í páskareglunum. Í annan stað munaði æ meiru á raunverulegri tunglfyllingu og þeirri sem reiknuð var með aðferð Díónysíusar og lögð var til grundvallar við páskaútreikninginn. Hið raunverulega tungl var orðið á undan áætlun, og bilið breikkaði að meðaltali um einn dag á hverjum 308 árum. Á 16. öld var skekkjan orðin svo mikil (3 dagar), að hún var hverjum manni augljós.

Markmiðið með tímatalsbreytingu Gregoríusar 13. var að leiðrétta báðar þessar skekkjur og færa þannig páskahaldið í rétt horf. Var nefnd stjörnufræðinga og stærðfræðinga falið að fjalla um málið. Nefndin ákvað að fylgja í höfuðatriðum vendilega yfirveguðum tillögum sem ítalski læknirinn og stjörnufræðingurinn Aloysíus Lilíus hafði sett fram. Felldar voru úr tímatalinu 10 dagsetningar, nægilega margar til þess að vorjafndægur yrðu aftur nálægt 21. mars, og reglunni um hlaupár var breytt til þess að meðallengd almanaksársins samræmdist betur árstíðaárinu. Var það gert með því að fella niður 3 hlaupár á hverjum 400 árum og gera þau að almennum árum. Þá var tekin upp ný aðferð við að reikna út þá tunglfyllingu sem ráða skyldi páskunum. Áður hafði einfaldlega verið reiknað með því að kvartilaskipti tunglsins endurtækju sig á sömu mánaðardögum á 19 ára fresti (einni "tunglöld"). Þetta var nokkurn veginn rétt, en munaði þó að jafnaði einum degi á hverjum 308 árum (júlíönskum) eins og fyrr er sagt. Ef sama aðferð hefði verið notuð óbreytt í nýja tímatalinu, myndi það hafa leitt til skekkju sem svaraði einum degi að meðaltali á hverjum 235 árum (gregoríönskum) þannig að rétt tunglfylling hefði þá smám saman orðið á eftir áætlun. Nú var þetta tekið til greina og ákveðið að leiðrétting skyldi gerð með nokkru millibili eftir föstum reglum.

Hið nýja tímatal eða "nýi stíll" var ekki tekið upp samtímis í öllum löndum, svo að tímamunur gat orðið á páskahaldi eftir því hvort farið var eftir nýja stíl eða gamla stíl. Flestir grísk-kaþólskir menn héldu áfram að reikna páska og aðrar kirkjuhátíðir eftir gamla tímatalinu, þótt þeir miðuðu  við nýja tímatalið að öðru leyti, og þannig standa mál enn. Stundum hefur sú skoðun orðið ofan á, að vorjafndægur og fyllingu páskatungls beri að ákvarða með stjarnfræðilegum athugunum. Þá aðferð viðhöfðu t. d. mótmælendur í Þýskalandi á árunum 1700-1776, og í Svíþjóð frá 1740 til 1844. Ástæðan mun fyrst og fremst hafa verið sú að mótmælendum var í nöp við allt sem frá páfanum var komið, og tímatalsreglurnar voru þar ekki undanskildar. Svipað var viðhorf hinnar grísk-kaþólsku kirkju. Þegar hún um síðir ætlaði að taka upp nýja stíl (með lítilsháttar breytingu)  árið 1923, afréð hún að láta páskana ráðast af raunverulegum gangi tungls og sólar miðað við tímareikning Jerúsalemborgar. Þetta síðasta atriði skiptir máli, því að tunglfyllingin getur orðið á mismunandi  vikudögum eftir því hvaða stað er miðað við. Í reynd náði þessi ákvörðun ekki fram að ganga, og meðal grísk-kaþólskra eru páskar yfirleitt haldnir eftir gamla stíl eins og fyrr segir,  og verða að jafnaði síðar en páskar rómversk-kaþólskra og mótmælenda.

Frá fyrstu tíð hafa verið uppi hugmyndir um að binda páskana við fastan sunnudag í mars eða apríl og losna þar með við ýmis óþægindi sem hreyfanleiki páskanna hefur í för með sér. Nægileg samstaða hefur þó aldrei náðst um þessa lausn málsins.

Verður nú vikið nánar að hinum upprunalegu reglum til að finna páska, fyrst reglum gamla stíls, sem kenndar eru við Díónysíus Exiguus, og síðan reglum nýja stíls, sem Aloysíus Lilíus lagði grundvöllinn að. Báðar reglurnar má setja fram á sama hátt í orðum eins og gert var hér á undan, þ. e. a. s.: Páskadagur skal vera fyrsti sunnudagur eftir fyrsta tunglfyllingardag frá og með 21. mars. Munurinn á reglunum liggur hins vegar í því hvernig tunglfyllingin er reiknuð, eins og nú skal greina.
 

Páskatunglið í gamla stíl. Tunglöld og gyllinital

Eins og fyrr er sagt var fylling páskatungls í gamla stíl reiknuð út frá þeirri forsendu að kvartilaskipti tungls endurtækju sig nákvæmlega á sömu mánaðardögum á 19 ára fresti. Til þess að geta sagt fyrir um tunglkomur og tunglfyllingar tiltekið ár nægði þá að þekkja stöðu ársins í þessari 19 ára tunglöld. Tunglöldin er stundum kennd við gríska stjörnufræðinginn Meton sem uppgötvaði hana árið 432 f. Kr., en Babyloníumenn munu hafa vitað um hana löngu fyrir þann tíma. Þegar Díónysíus samdi páskatöflu sína á 6. öld e. Kr. lagði hann tunglöldina til grundvallar. Taflan náði yfir tímabilið 532-626 e. Kr. og spannaði þannig 5 tunglaldir. Þær töflur sem síðar voru gerðar, mynduðu eðlilegt framhald af töflu Díónysíusar, og mun þannig hafa skapast sú venja að reikna tunglaldirnar frá árinu 532 sem upphafsári. Einhvern tíma síðar, líklega ekki fyrr en á 11. öld, var farið að tákna stöðu árs í tunglöld með svonefndu gyllinitali (þ. e. gullinni tölu; uppruni nafnsins er óviss). Var þá sagt að fyrsta ár í tunglöld hefði gyllinitalið 1, næsta ár gyllinitalið 2, o. s. frv. upp í 19. Árið 532 sem var fyrsta ár í tunglöld fékk þannig gyllinitalið 1, og árið 550 sem var 19. og síðasta árið í sömu tunglöld fékk gyllinitalið 19. Næsta tunglöld hófst svo með árinu 551 sem fékk gyllinitalið 1, o. s. frv. Sé talið þannig áfram allt fram á 20. öld kemur í ljós að síðasta tunglöld aldarinnar hófst með árinu 1995. Árið 2000 var því 6. ár í tunglöld eins og sjá má á bls. 2 í almanakinu fyrir það ár. Gyllinital tiltekins árs má finna með því að deila í ártalið með 19. Afgangurinn er þá einum lægri en gyllinitalið.

Í gamla stíl var gyllinitalið notað til að segja fyrir um kvartilaskipti tunglsins árið um kring.Tafla A sýnir tunglkomurnar fyrir sérhvert gyllinital samkvæmt því kerfi sem almennt var notað. Þau ár sem gyllinitalið var 1 reiknuðu menn t. d. með því að nýtt tungl bæri upp á dagana 23. janúar, 21. febrúar, 23. mars, 21. apríl, 21. maí, 19. júní, 19. júlí, 17. ágúst, 16. september, 15. október, 14. nóvember og 13. desember. Í þessu sambandi er rétt að geta þess að hugtakið nýtt tungl var áður fyrr notað í annarri merkingu en nú tíðkast. Þegar tungl er nýtt, í nútímaskilningi þess orðs, er það sem næst í sólstefnu og sést ekki á himninum vegna nálægðar við sól. Einum til tveimur dögum síðar kemur tunglið í ljós á himninum austan við sól, og það var sá atburður sem upphaflega nefndist nýtt tungl eða tunglkoma. Við val dagsetninganna í töflu A var þessari hefð fylgt. Í samræmi við hana taldist tunglfylling vera 13 dögum eftir tunglkomu en ekki 15 dögum eftir tunglkomu eins og nú myndi talið réttara.
 

Eitt helsta markmiðið með tímatalsbreytingu Gregoríusar páfa 13. var, eins og þegar hefur verið sagt, að leiðrétta misræmið milli raunverulegra tunglfyllinga og dagsetninganna í töflu B. Einfaldasta lausnin hefði vafalaust verið sú að breyta dagsetningunum í töflunni til samræmis við raunverulegan gang tunglsins og endurskoða síðan töfluna með reglubundnu millibili. Lilíus og ráðgjafar páfa völdu aðra leið, sem í fljótu bragði virðist frábrugðin þessari, en stefnir raunar að sama marki. Til þess að ákvarða fyllingu páskatungls skyldi framvegis stuðst við svonefnda pakta, en hjálpartölur með því nafni höfðu lengi verið notaðar í gamla stíl til að tákna aldur tunglsins vissan dag í árinu, oftast 22. mars en stundum 1. janúar. Lilíus kaus að miða við 1. janúar, svo að paktar nýja stíls, eða gregoríanskir paktar eins og þeir eru líka kallaðir, eiga að segja til um aldur tunglsins á nýársdag, þ. e. þann dagafjölda sem liðinn er frá nýju tungli. Hugmynd Lilíusar var sú að finna pakta hvers árs með einfaldri reiknireglu og nota síðan töflu til að finna páskatunglið út frá pöktunum. Í staðinn fyrir töflu A var nú samin ný tafla, C, sem sýndi tunglkomurnar í árinu fyrir hvert paktagildi. Meðallengd tunglmánaðar er 29,53 dagar eins og fyrr segir, svo að paktarnir (sem miðast við að aldur tungls sé reiknaður í heilum dögum) geta tekið öll gildi frá 0 upp í 29. Paktarnir 0 svara til þess að nýtt tungl (í hinum eldri skilningi) beri upp á nýársdag. Í stað tölunnar 0 var áður notað táknið * en stundum 30, þannig að paktarnir leika þá á 1-30.
 

Lausleg athugun bendir til þess að við sérstakar kringumstæður ætti að geta munað tveimur dögum á réttri tunglfyllingu og dagsetningu í töflu D. Ég hef þó ekki rekist á neitt dæmi þess að meiru hafi munað en einum degi.

Ef við athugum töflu D sjáum við að paktarnir 24 eru látnir gefa sama tunglfyllingardag og paktarnir 25, þ. e. 18. apríl, en ekki 19. apríl eða 20. mars eins og eðlilegra gæti virst með hliðsjón af næstu paktatölum. Þetta er gert af ásettu ráði til þess að páskarnir fari ekki út fyrir hin hefðbundnu tímamörk, 22. mars og 25. apríl. Um hina sérstöku paktatölu 25* verður rætt síðar.

Nú er eftir að líta á það atriði hvernig finna skuli pakta tiltekins árs. Þegar paktar nýja stíls voru innleiddir, var ákveðið að tengja þá gyllinitalinu á sem einfaldastan hátt til þess að sem minnstur munur yrði á gömlu og nýju reglunni til að finna páska. Nánari athugun leiddi í ljós að fyrst eftir gildistöku hins nýja tímatals myndi hæfilegt að láta sambandið milli gyllinitals og pakta vera eins og sýnt er í töflu E. Með öðrum orðum, á fyrsta ári hverrar tunglaldar myndi láta nærri að tungl væri eins dags gamalt á nýársdag; næsta ár (gyllinital 2) mátti heita að það væri 12 daga gamalt, o. s. frv. Við sjáum að paktatalan er látin hækka um 11 frá ári til árs (þegar summan fer yfir 30, dragast 30 frá), og er það nokkurn veginn í samræmi við gang tunglsins. Í lok hverrar tunglaldar og við upphaf þeirrar næstu hækka paktarnir þó um 12 (frá 19 yfir í 31 = 1).

Samanburður á töflum B og D (með hliðsjón af E) sýnir að dagsetningarnar hafa yfirleitt verið fluttar fram um 7 daga; þegar gyllinitalið var 1 taldist páskatungl áður fullt 5. apríl, en eftir breytinguna er tunglfyllingin sett á 12. apríl svo að dæmi sé tekið. Þarna er um að ræða þriggja daga flutning aftur á bak til að fá samræmi við gang tunglsins og tíu daga flutning fram á við vegna þeirra dagsetninga sem sleppt var úr tímatalinu árið 1582. Heildarfærslan verður því 7 dagar.

Til þess að tafla D héldist nú til frambúðar í samræmi við raunverulegan gang tunglsins voru settar reglur sem breyta sambandinu milli pakta og gyllinitals á vissum aldamótum. Hin upprunalega tafla, E, var látin gilda fyrir tímabilið 1582-1699. Þá tók við önnur tafla, F, sem gilti frá 1700 til 1899 og síðan þriðja taflan, G, sem gildir fyrir yfirstandandi tímabil allt fram til ársins 2199.
 

Eins og tafla E sýnir, hélst sambandið milli gyllinitals og pakta óbreytt frá 1582 til 1699. Árið 1700 kom sóljöfnuðurinn til skjalanna og lækkaði paktana um 1 (tafla F). Árið 1800 var sóljöfnuðurinn veginn upp af tungljöfnuði, og varð því engin breyting. Árið 1900 varð enn sóljöfnuður svo að sambandið milli gyllinitals og pakta breyttist aftur (tafla G). Næsta breyting verður ekki fyrr en árið 2200 þegar sóljöfnuðurinn verður aftur einn að verki.

Í síðustu töflunni (G), þeirri sem nú gildir, kemur fyrir sérstakt paktagildi sem táknað er með 25*. Eins og við munum voru paktagildin 24 og 25 látin gefa sama tunglfyllingardag, 18. apríl. Nú getur það hent, eins og á yfirstandandi tímabili (1900-2199), að bæði gildin, 24 og 25, eigi að koma fyrir í hverri einustu tunglöld. Þetta myndi hafa það í för með sér að páskarnir fengju óeðlilega ríka tilhneigingu til að lenda á tímanum 19.-25. apríl. Til þess að forðast þetta var ákveðið að undir slíkum kringumstæðum skyldi færa tunglfyllinguna fyrir paktana 25 til 17. apríl og auðkenna paktatöluna jafnframt á sérstakan hátt. Paktarnir 25* jafngilda því pöktunum 26. Rétt er að benda á að öll þrjú gildin, 24, 25 og 26, koma aldrei fyrir í einni og sömu tunglöld.

Í handbókinni um fingrarím eru töflur sem sýna gyllinital, pakta og dagsetningu páskadags fyrir árin 1000-2199 e. Kr. Einnig eru þar gefnar stærðfræðilegar reiknireglur til að finna pakta og páskadag. Um hina einföldu reglu til að finna gyllinitalið hefur þegar verið getið.