Um tíðni páskadagsetninga
 
eftir Þorstein Sæmundsson

 
    Tímaritið „Scientific American“ er virt bandarískt mánaðarrit sem margir kannast við. Í því er fjallað um vísindaleg efni á fremur alþýðlegan hátt. Höfundarnir eru yfirleitt sérfræðingar hver á sínu sviði, þannig að fróðleikurinn sem tímaritið flytur er að jafnaði mjög áreiðanlegur.

   Eitt vinsælasta efnið í tímaritinu hafa verið svonefndir „Stærðfræðileikir“ (Mathematical Games), fastur þáttur sem stærðfræðingurinn Martin Gardner hafði umsjón með frá upphafi þáttarins (1957) til ársloka 1981. Á þeim vettvangi hefur komið fram skemmtilegur og sjaldséður fróðleikur um hin ólíkustu efni. Síðasta ár þáttarins vildi svo til, að tekið var til umræðu efni sem ég hef lengi haft áhuga á, nefnilega reiknireglur til að finna dagsetningu páska. Þar sem þetta er efni sem ég hef áður fjallað um í Almanaki Þjóðvinafélagsins (1971 og 1972)¹⁾, sýnist mér ástæða til að kynna skrif Gardners fyrir lesendum.

    Í þætti sínum í febrúar 1981 tekur Gardner til umræðu tiltekna reikningsaðferð sem stærðfræðingurinn mikli, J.K.F. Gauss, er kunnur fyrir. Gauss beitti þessari aðferð m.a. til að finna reiknireglur um dagsetningu páskadags. Gardner getur þess að reglur Gauss séu flóknar og að þeim fylgi aukareglur sem nota verði í sérstökum tilfellum. Síðan segir Gardner:

    „Ef við hins vegar takmörkum okkur við tímabilið frá 1900 til 2099 að báðum árum meðtöldum, er til einföld aðferð án undantekninga, sem Thomas H. O'Beirne í Glasgow fann upp og birti fyrstur í grein sinni „The Regularity of Easter“ (Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications, 2. bindi, nr. 2, bls. 46-49, apríl 1966). O'Beirne komst að raun um að hann gat lagt aðferð sína á minnið og notað hana sem samkvæmisleik til að finna dagsetningu páskadags hvaða ár sem var á umræddu tímabili með hugarreikningi einum saman.“

    Reikningsaðferð O'Beirnes, sem Gardner segir frá, er á þessa leið:

    Dragið 1900 frá ártalinu og kallið útkomuna a.
    Deilið í a með 19 og kallið afganginn b.
    Deilið í 7b+l með 19 og kallið deildina c.
    Deilið í 11b+4–c með 29 og kallið afganginn d.
    Deilið í a með 4 og kallið deildina e.
    Deilið í a+e+31–d með 7 og kallið afganginn f.

    Þá er dagsetning páskadags í apríl 25–d–f. Ef útkoman verður 0 eða neikvæð tala eru páskar í mars, og ber þá að leggja 31 við útkomuna til að fá dagsetninguna.

    Þeim lesendum almanaksins sem lögðu það á sig á sínum tíma að kynna sér reglur um fingrarím (sjá Almanak Þjóðvinafélagsins 1972) ætti ekki að koma það á óvart að unnt sé að finna páska með hugarreikningi, sérstaklega þegar tímabilið er takmarkað svo mjög sem hér er gert. Sennilega mun þeim líka finnast aðferðin sem nú var lýst bæði seinlegri og erfiðari en reglur fingrarímsins. Aðferð O'Beirnes hlýtur þó að teljast verðugt framlag í þann sjóð bókmennta sem safnast hefur um þetta efni allt frá því að Gauss birti páskareglur sínar árið 1800. Sjá t.d. „Kronologi" eftir J.Fr. Schroeter, 2. hluta (1926), bls. 255, þar sem ýmis dæmi eru nefnd. Gardner minnist hvergi á þessar bókmenntir, og er engu líkara en að honum sé ekki kunnugt um þær.

    Í febrúargreininni segir Gardner að algengasta dagsetning páskadags sé 19. apríl, en sú næst-algengasta 18. apríl. Í ágústhefti tímaritsins minnist hann aftur á þetta mál, en er nú í meiri vafa. Segist hann hafa reitt sig á niðurstöður sem fengist hafi við athugun á tiltölulega stuttu tímaskeiði. Nú hafi honum borist bréf frá lesendum sem hafi beitt tölvum til að reikna tíðni páskadagsetninga yfir önnur tímaskeið. Í ljós hafi komið að á tímabilinu 1900 til 2099 séu þrjár dagsetningar algengastar og komi jafn oft fyrir:  31. mars, 12. apríl og 15. apríl. Athuganir á öðrum tímabilum hafi leitt til mismunandi niðurstöðu. Svo virðist sem 19. apríl kunni að vera algengasta dagsetningin ef nógu langt sé reiknað fram í tímann, en það sé ósannað. Gardner segist hins vegar munu láta lesendur fylgjast með því sem fram komi í málinu.

    Hér er skemmtilegt úrlausnarefni sem mér finnst sennilegt að einhver fræðimaður fyrri tíma hafí glímt við og gert viðunandi skil, því að til þess þarf ekki tölvu. Ég verð þó að játa að ég hef hvergi rekist á neina heimild þar sem spurningunni er svarað afdráttarlaust. Í bók Schroeters sem fyrr er getið er t.d. fjallað um dreifingu páskadaga og sýnd niðurstaða fyrir tímabilið 1583–2200, en engin tilraun gerð til að finna almenna reglu. Á umræddu tímabili reyndust algengustu páskadagsetningarnar vera 31. mars, 11. apríl og 16. apríl, og kom hver þeirra fyrir 26 sinnum.

    Við skulum nú líta nánar á þær reglur sem ráða dagsetningu páskadags og leita þar svars við spurningunni um það hvaða dagsetning sé algengust.

    Eins og allir vita sem hafa kynnt sér grundvöll páskareiknings, ákvarðast dagsetning páskadags í nýja stíl (gregoríanska tímatalinu) af samspili tveggja þátta: sunnudagsbókstafs og pakta þess árs sem um ræðir. Skilyrðið til þess að páskadag beri upp á tiltekna dagsetningu, t.d. 28. mars, er að sunnudagsbókstafurinn sé hinn rétti (í þessu tilfelli bókstafurinn C) og að paktar ársins taki rétt gildi (í þessu tilviki 17, 18, 19, 20, 21, 22 eða 23). Paktagildin sem til greina koma eru mismunandi mörg eftir því hver dagsetningin er. Þetta er auðséð hverjum þeim sem kann skil á fingrarímsreglum þeim sem lýst var í Almanaki Þjóðvinafélagsins 1972, en einnig kemur það fram af töflum í flestum bókum um tímatalsfræði.

    Nú eru sunnudagsbókstafirnir allir nokkurn veginn jafn algengir þegar til langs tíma er litið, og sama er að segja um paktatölurnar. Þar sem sunnudagsbókstafir og paktar eru óháðir hverjir öðrum, merkir þetta einfaldlega að fjöldi páskadaga af tiltekinni dagsetningu verður í réttu hlutfalli við fjölda þeirra paktagilda sem geta kallað fram dagsetninguna. Fyrir 28. mars eru þessi gildi 7 eins og fyrr greinir, en ef við tökum t.d. 22. mars til samanburðar, kemur aðeins eitt paktagildi til greina (paktarnir 23). Af þessu leiðir að páskadag ætti að bera um það bil 7 sinnum oftar upp á 28. mars en 22. mars. Fjöldi þeirra paktagilda sem geta kallað fram hverja dagsetningu, og hlutfallstíðni mismunandi dagsetninga sem af fjöldanum leiðir, kemur fram í eftirfarandi töflu:

    Í töflunni eru tvær tölur afbrigðilegar, þ.e. tölurnar sem standa við 18. apríl og 25. apríl. Þetta stafar af því að ein paktatalan, 25, hefur sérstöðu; um hana gilda sérstakar reglur (sjá greinina um fingrarím í Almanaki Þjóðvinafélagsins 1972, bls. 185). Þegar þessi paktatala kemur upp um leið og sunnudagsbókstafurinn C, verða áhrifin ýmist þau, að páskar falla á 18. apríl, eða viku síðar, á 25. apríl. Talan 25 hefur því ekki full áhrif á báðum stöðum, heldur skiptast áhrifin í vissum hlutföllum (8/19 falla á fyrri dagsetninguna, en 11/ 19 á þá síðari). Þetta geta þeir séð í hendi sér sem kunna skil á fingraríminu. Þó kann að vefjast fyrir þeim að finna hver hlutföllin eru, og ætla ég því að skýra það með nokkrum orðum.

    Paktatalan 25 er afbrigðileg að því leyti að hún hefur oftast sömu áhrif í páskareikningi og önnur paktatala, 24. Þegar báðar tölurnar koma fyrir í hverri 19 ára tunglöld (eins og t.d. gerist á öllu tímabilinu frá 1900 til 2199) er brugðið á það ráð að láta 25 hafa sömu áhrif og 26 (tölurnar þrjár, 24, 25 og 26, geta ekki allar komið fyrir í sömu tunglöld). Er þá talan 25 auðkennd á einhvern hátt, venjulega með stjörnu (25*). Þegar svo háttar til, og sunnudagsbókstafur ársins er C, fellur páskadagur á 18. apríl, annars á 25. apríl. Spurningin er því hvaða líkur séu á því, þegar paktar eru 25, að paktarnir 24 finnist í sömu tunglöld. Þessu er auðsvarað. Paktarnir geta tekið gildin frá 0 til 29. Innan hverrar tunglaldar hækka paktar um 11 frá ári til árs; ef talan nær 30, dragast 30 frá (sjá töflur í Almanaki Þjóðvinafélagsins 1971, bls. 168). Með því að skrifa upp allar hugsanlegar talnaraðir pakta í tunglöld (30 möguleika) getur lesandinn sannfærst um að talan 25 kemur upp 19 sinnum, einu sinni á hverju tunglaldarári. Þegar talan kemur upp á l.–11. ári tunglaldar er talan 24 ekki í sömu tunglöld, en ef töluna 25 ber upp á 12.-19. ár tunglaldar er töluna 24 að finna í sömu tunglöld (11 árum fyrr). Hlutfallsleg tíðni paktanna 25 og 25* er því 11/19 á móti 8/19, og er það skýringin á brotatölunum við dagsetningarnar tvær í töflunni hér að ofan.

    Hversu mörg ár skyldi nú þurfa að kanna til þess að ganga úr skugga um hvort þessi fræðilegi útreikningur á dreifingu páskadaga sé réttur? Svarið er 5 700 000 (5 milljón og sjö hundruð þúsund ár). Þetta er svonefnd páskaöld, þ.e. sá tími, sem verður að líða þar til páskadagsetningar fara að endurtaka sig í sömu röð. Að reikna páska fyrir svo langt tímaskeið er ekki árennilegt án tölvu. Í september 1981 mataði ég tölvu Raunvísindastofnunar Háskólans (PDP-11/23) á þessu verkefni og lét hana reikna dagsetningu páskadags frá árinu 1583 til ársins 5 701 582. Til reikninganna notaði ég formúlu þá sem birtist nafnlaust í breska tímaritinu Nature árið 1876, en hún gildir fyrir allan nýja stíl án nokkurra undantekninga. (Í Almanaki Þjóðvinafélagsins 1972 er þessi formúla sýnd á bls. 190, en því miður er þar ein prentvilla: formerkið framan við stærðina d á að vera mínus.) Tölvan var 2 sekúndur að reikna páska fyrir hver 100 ár svo að reiknitíminn varð alls 34 klukkustundir, frá laugardagskvöldi til mánudagsmorguns. Niðurstaðan var sem hér segir:

    Aðdáendur tölvutækninnar (og ég er vissulega í þeim hópi) gætu freistast til að halda því fram að útreikningur sem þessi væri óhugsandi án tölvu. Því sakar ekki að geta þess að a.m.k. tvær af þessum tölum, 27550 og 42000 (tölurnar við fyrstu og síðustu dagsetninguna) koma fyrir í gömlum bókum um tímatalsfræði!

    Ef við berum prósentutölurnar í töflunni saman við „spána“ í töflunni á undan, sjáum við að spáin er býsna nærri lagi. Smávægileg frávik koma fram, nokkuð reglubundin, og mætti vafalaust finna skýringu á þeim ef nánar væri könnuð dreifing paktagilda og sunnudagsbókstafa, en það mun ég láta öðrum eftir að gera. Hinni upphaflegu spurningu höfum við svarað ótvírætt: algengasta dagsetning páskadags í nýja stíl er 19. apríl, þ.e. mjög síðla á því tímabili sem páskarnir geta fallið á. Næst-algengasta dagsetningin er svo 18. apríl. Hvort tveggja er í samræmi við upphaflega staðhæfingu Martins Gardners. Má það heita merkilegt ef það er rétt sem hann segir sjálfur, að staðhæfingin hafí verið byggð á mjög takmörkuðu úrtaki.

    Ég ætla að ljúka þessu spjalli með því að birta til samanburðar töflu um tíðni páskadagsetninga í gamla stíl (júlíanska tímatalinu). Sú tafla er auðreiknuð, því að páskaöldin í gamla stíl var aðeins 532 ár.

    Eins og sjá má, var dreifing páskadaga í gamla stíl allt önnur en nú, og engin ein dagsetning kom þar oftar fyrir en allar hinar. Fyrstu og síðustu dagsetningarnar voru sjaldgæfastar þá sem nú, en munur lægstu og hæstu tíðni var miklu minni; hlutfallið var 1:5, en er nú 1:8 eins og töflurnar sýna.

(Úr Almanaki Þjóðvinafélagsins 1983)

-------------------------------------------------------------------------------------------

¹⁾ Í  textanum er vitnað í greinar sem birtust í Almanaki Þjóðvinafélagsins árin 1971 og 1972. Þetta eru greinarnar  „Um grundvöll páskareiknings“ og „Fingrarím“, 3. kafli sem finna má á þessu vefsetri.